پکیج آموزش انتگرال

پکیج آموزش انتگرال دکتر مهران چه لابی

مهمترین فرمول های انتگرال گیری معین و نامعین

مهمترین فرمول های انتگرال گیری معین و نامعین در این بخش توضیح داده شده است. سعی شده اساسی ترین فرمول های انتگرال که کاربرد بیشتری دارند ذکر شود.
پیشنهاد ویژه ایران مدرس: دانلود تمامی روابط و فرمولهای انتگرال گیری
1- فرمول انتگرال توابع کسری: از مهمترین توابع کسری همان 1/x است که رابطه آن در ادامه ذکر شده است. همانطور که مشاهده می کنید نتیجه چنین انتگرالی به صورت Lnx بدست آمده است. بسیاری از انتگرال های کسری ممکن است نتیجه آنها به فرم Ln باشد. البته در بسیاری از موارد یک تغییر متغیر لازم است. – پیشنهاد می شود حتما ببینید: بهترین فیلم های آموزشی انتگرال، 10 فیلم برتر در زمینه آموزش انتگرال با بهترین بازدهی

2- فرمول انتگرال توابع گویا و چند جمله ای ها: در ادامه روابط مرتبط با انتگرال توابع گویا و چند جمله ای ها ارائه شده است. همانطور که می دانید محاسبه این نوع انتگرال ها بسیار آسان است. به عنوان مثال در انتگرال چند جمله ایها کافی است یک عدد به توان اضافه کنید و همان توانی که به این ترتیب بدست می آید را در مخرج هم قرار دهید (به دومین رابطه پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال از فرمول های زیر دقت کنید). در روابط زیر، دو فرمول آخر دوباره برای انتگرال های کسری ارائه شده است و همانطور که می بینید Lnx دوباره خودش را نشان داده است. بنابراین برای توابع کسری این نکته را مد نظر داشته باشید. البته چون Ln نمی تواند مقادیر منفی را قبول کند بنابراین در جواب انتگرال یک قدرمطلق هم استفاده شده است. روابط زیر را با دقت مورد بررسی قرار دهید. ممکن است انتگرال هایی که به شما داده می شود به سادگی انتگرال های زیر نباشد و لازم باشد از تکنیک هایی مانند تغییر متغیر و جز به جز و …. هم استفاده نمائید. ولی به هر حال اولین قدم این است که بر فرمول های انتگرال گیری مسلط باشید و آنها را خوب یاد گرفته باشد. این مقاله خوب را هم حتما ببینید: بهترین فیلم های آموزشی، جزوه و مقالات آموزش انتگرال به زبان ساده و با مثال تشریحی

پیشنهاد می کنیم دانلود جزه رایگان عالی انتگرال را هم مطالعه نمائید.
3- فرمول انتگرال تابع نمایی و توانی: در ادامه روابط مرتبط با انتگرال گیری تابع نمایی و توانی ارائه شده است. در تابع توانی وقتی که پایه عدد نپر و یا همان e است، انتگرال گیری خیلی راحت خواهد بود و در حقیقت همان عبارت زیر انتگرال جواب انتگرال خواهد شد (به اولین فرمول از روابط زیر دقت کنید). البته اگر توان به جای x تابعی از x باشد ممکن است ضرایب اضافه ای هم در جواب انتگرال لازم باشد و یا لازم باشد از تغییر متغیر استفاده کرد. در هر صورت این نوع انتگرال جواب ساده و مشخصی دارد. فرمول انتگرال تابع نمایی در حالتی که پایه عدد نپر نباشد هم در ادامه ارائه شده است (همان روابط پایین فرمول دوم را ببینید). در رابطه با انتگرال e و انتگرال توابع نمایی حتما مقاله خیلی خوب و کامل انتگرال e و فرمول ها و روابط انتگرال توابع نمایی را بخوانید.

4- فرمول انتگرال توابع لگاریتمی: بسیاری از دانشجویان و دانش آموزان در محاسبه انتگرال توابع لگاریتمی اشکال دارند. فرمول های انتگرال لگاریتم در ادامه ارائه شده است. برای محاسبه انتگرال Lnx باید از روش جزء به جزء استفاده کرد که در این مقاله توضیح داده شده است. بهتر است روش محاسبه انتگرال را یاد بگیرید. البته اگر وقت کمی دارید همین فرمول هایی که اینجا ارائه شده است را حفظ نمائید.

برای مشاهده لیست مدرسین ریاضی که می توانند در مبحث انتگرال و یا هر مبحث دیگری از درس ریاضی به شما در یادگیری بهتر درس کمک کنند بر روی عبارت تدریس خصوصی ریاضی کلیک کنید.
5- فرمول انتگرال توابع مثلثاتی: از مهمترین توابعی که انتگرال آنها معمولا مورد سوال قرار می گیرد توابع مثلثاتی است. برای توابع مثلثاتی ممکن است فرمول های زیادی را در مراجع مشاهده کنید که به خاطر سپردن همه ی آنها شاید ممکن نباشد و یا خیلی سخت گردد. به همین دلیل مهمترین فرمول ها فقط در این بخش ذکر شده است. توابع مثلثاتی علاوه بر اینکه خودشان در مبحث انتگرال گیری می توانند مورد سوال قرار گیرند، در بسیاری از موارد برای تغییر متغیر هم از آنها استفاده می شود. مهمترین فرمول های انتگرال گیری تابع های مثلثاتی در ادامه ارائه شده است. اگر می خواهید در زمینه انتگرال تابع های مثلثاتی اطلاعات کاملتری را بدست آورید مقاله انتگرال توابع مثلثاتی را حتما بخوانید.

در روزهای اخیر، سخنان علی ذوعلم رئیس سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی ، بار دیگر نام “انتگرال” را وارد رسانه‌ها کرد. ایشان گفته اند که “بچه ها باید در دانشگاه انتگرال بخوانند نه در مدرسه” و به گفته او دانش‌آموزان باید در مدرسه، مفاهیمی را یاد بگیرند که آنها را “برای زندگی” آماده کند.
انتگرال چیست و به چه درد می‌خورد؟

حساب دیفرانسیل و انتگرال، یکی از مهمترین مفاهیم و البته کشفیات ریاضیات در تاریخ است، شاید بی‌راه نباشد که بگوییم، بیشتر پیشرفت‌های علمی بشر در حدود ۳۵۰ سال اخیر، به شکلی به حساب دیفرانسیل و انتگرال مربوط است.

اگر هندسه را علم مطالعه اشکال بدانیم، جبر را مطالعه اعداد و یافتن قوانین عمومی در حساب بدانیم، دیفرانسیل و انتگرال را هم می‌توان علم مطالعه حرکت مداوم اجسام دانست. هرجا حرکتی وجود داشته باشد، از حرکت مولکولی، تا حرکت سیارات، پای حساب دیفرانسیل و انتگرال وسط می‌آید. زندگی بدون حرکت، سرعت، افزایش، کاهش، و هرگونه تغییری مفهومی ندارد، و راه اندازه گیری و درک این حرکات، با حساب دیفرانسیل و انتگرال ممکن است.
انتگرال چیست؟

فرض کنید، می‌خواهید بدانید برای پر کردن یک استخر چقدر آب نیاز دارید. اگر عمق استخر شما ثابت باشد، یعنی بخش کم عمق و عمیق نداشته باشد، با ضرب طول و عرض و عمق، جواب سوالتان را پیدا می‌کند (مثل پیدا کردن حجم یک مکعب مربع). اما اگر کف استخر شما، با حالتی قوس دار از کم عمق به عمیق برود، آنوقت، محاسبه حجم دقیق آن با ضرب و تقسیم ممکن نیست. و بدون محاسبه هم ساختنش ایمن نیست، چون باید بدانید که چقدر آب قرار است در استخر باشد و چه وزنی خواهد داشت و چقدر باید کف و دیوارهای استخر را مقاوم کنید.

اگر علاقه دارید بیشتر درباره تاریخچه انتگرال و تولدش بدانید، به خواندن ادامه دهید.

داستان انتگرال در تاریخ ریاضیات، در آغاز با سوالی ساده شروع شد. چطور می‌شود شیب یک خط را اندازه گرفت؟

امروز شما می‌توانید به راحتی، شیب یک خیابان را اندازه بگیرید، کافی است بدانید که برای هر قدمی که به جلو بر می‌دارید، چقدر بالا می‌روید. مثلا اگر در یک خیابان، هر یک متر که جلو می‌روید، ارتفاعتان از سطح زمین نیم متر بالا برود، می‌توانید بگویید که شیب این خیابان نیم (یک دوم) است. در اینجا افزایش ارتفاع یعنی (نیم متر) را بر طول مسیری که پیموده‌اید (یک متر) تقسیم کرده‌ایم (البته چنین خیابانی در دنیای واقعی بیش از حد سر بالایی است!)این مفهوم را اولین بار حدود ۳۷۰ سال پیش، رنه دکارت، ریاضی دان فرانسوی معرفی و فرمول بندی کرد. اما همان زمان، سوال مهمی مطرح شد پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال ، اگر خیابان شما، بجای یک خط صاف، یک منحنی باشد، شیب آن خیابان، نه در کل مسیر، که در نقطه‌ای که شما – مثلا در میانه خیابان – ایستاده‌اید چقدر است؟ تلاش برای یافتن پاسخ این سوال، در نهایت به کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال و البته دعوای مشهور دو ریاضی‌دان، ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیتس ختم شد.
تولد حسابان؛ پیوند حرکت، با جبر و هندسه
پیر دو فرما ریاضی‌دان دیگر فرانسوی همزمان با دکارت، ازجمله روی مفاهیم مشابهی – خط مماس و شیب خط – کار می‌کرد. اما پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال سرانجام در سال ۱۶۸۴ میلادی (حدود ۳۴۰ سال پیش) گوتفرید ویلهلم لایبنیتس مقاله‌ای منتشر کرد که از آن به عنوان تولد حسابان (Calculus) یاد می‌شود. خلاصه عنوان طولانی این مقاله انقلابی،‌ چنین بود: “روشی جدید در محاسبه بیشینه (ماکزیمم) و کمینه (مینیمم) و خط مماس”. برای آنکه مقیاسی برای قدمت این مفهوم داشته باشید در نظر بگیرید که وقتی این مقاله منتشر شد، ایران در عصر صفویه و شاه سلیمان اول بر تخت پادشاهی بود.

لایبنیتس در این مقاله، موفق شده بود با روش‌های جبری، و با استفاده از مفهوم “اندازه بی‌نهایت کوچک” یا (Infinitesimal) شیب خط مماس بر یک منحنی را به صورت دقیق و به شکلی که به اصطلاح “مو لای درزش نمی‌رفت” محاسبه کند. او همچنین موفق شده بود، با تقسیم سطح زیر یک نمودار به قسمت‌های بی‌نهایت کوچک و جمع کردن آنها باهم، سطح زیر نمودار یک تابع را با دقت محاسبه کند. لایبنیتس همچنین دو مفهوم به ترتیب دیفرانسیل و انتگرال را با “قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال” به هم ارتباط داد و آن را نظام مند کرد.

البته انتشار این مقاله، نیوتون را به شدت عصبانی کرد، او ادعا می‌کرد که پیش از لایبنیتس، دیفرانسیل و انتگرال را کشف کرده است و حاصل تحقیقاتش دزدیده شده است. تحقیقاتی که در دوران مدرن انجام شده است، به این باور عمومی رسیده است که هر دو دانشمند، به صورت مستقل پکیج آموزش انتگرال  و همزمان ایده دیفرانسیل و انتگرال را کشف کرده‌اند، اما آنچه ما امروز استفاده می‌کنیم، روش نوشتن و نشانه‌های لایبنیتس است.

قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال، یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال است که به زبان ساده، نشان می‌دهد، مشتق تابعی که سطح زیر یک نمودار را در یک بازه مشخص نشان می‌دهد، برابر با مقدار آن تابع در نقطه انتهایی تابع است و به این ترتیب رابطه‌ای میان دیفرنسیال و انتگرال ایجاد می‌کند.

در سال ۱۸۶۸، برنهارت ریمان ریاضی‌دان آلمانی، اولین مفهوم دقیق ریاضی انتگرال را ارائه کرد. در سال‌های بعد، مخصوصا در اوایل قرن بیستم، محاسبه انتگرال، پیشرفت‌های قابل توجهی یافت. برای نمونه هنری لبگ، روشی را برای انتگرال گیری از توابع غیر مشتق پذیر و منفی را معرفی کرد که یکی از سنگ بناهای حسابان تصادفی (Stochastic calculus) شد، که به توسعه فیزیک (با کارهای آلبرت انیشتین) و کارهای انقلابی کیوشی ایتو، ریاضی‌دان ژاپنی در توسعه علوم مالی کمک کرد.

انتگرال

محاسبه حجم آب چنین استخری، تنها با انتگرال ممکن است. انتگرال اینطور کار می‌کند که استخر را به برش‌های نازکی تقسیم می‌کند. حجم هر برش، برابر است با طول (اینجا عمق استخر) ضرب در عرض (اینجا عرض استخر) و ضخامت برش (که بسیار کم است). با کم کردن ضخامت این برش‌ها؛ می‌توان استخر را به هزاران برش کوچک تقسیم کرد، حالا دیگر اندازه گرفتن حجم این برش‌های کوچک آسان است، و با جمع آنها با هم، حجم کل استخر به دست می‌آید.

6- فرمول انتگرال تابع های مثلثاتی معکوس: یکی از موارد مهم دیگر توابع مثلثاتی معکوس است. روابط زیر در زمینه انتگرال این توابع می تواند مفید باشد. با کمی دقت در این فرمولها می توانید قاعده مشخصی را پیدا کنید و آنها را به خاطر بسپارید. برای کسب اطلاعات بیشتر در رابطه با انتگرال توابع معکوس مثلثاتی مقاله بسیار خوب و کامل انتگرال توابع معکوس مثلثاتی را بخوانید.

مطالعه مقاله دانلود 121 فرمول انتگرال گیری هم مفید است.
7- فرمول انتگرال توابع هذلولوی: ممکن است در مقطعی که الان تحصیل می کنید با این توابع هذلولوی آشنا باشید و یا نباشید. به هر حال این توابع با استفاده و با کمک عدد نپر تعریف می شوند. در این بخش با نحوه تعریف این توابع کاری نداریم و فقط فرمول های انتگرال گیری چنین توابعی را ذکر خواهیم کرد. برای انتگرال گیری از توابع هذلولوی روابط زیر بسیار مفید هستند. برای sinhx و coshx روابط و نتایج انتگرال بسیار مشابه توابع مثلثاتی معمولی است. دقت کنید که بلد بودن و حفظ کردن فرمول های مهم انتگرال گیری نه تنها در محاسبه انتگرال های معمولی، بلکه در حل انتگرال های دوگانه و انتگرال سه گانه در مقطع دانشگاه هم به شما کمک می کند. بنابراین قدم اول برای کسب توانایی در حل سوالات انتگرال این است که بر مهمترین روابط انتگرال گیری مسلط باشید.

8- فرمول انتگرال تابع های هذلولوی معکوس: مشابه هر تابع دیگری، برای توابع هذلولوی هم می توان معکوس تعریف کرد و معکوس این توابع هم می تواند انتگرال داشته باشد. فرمولهای انتگرال گیری توابع معکوس هذلولوی در ادامه ارائه شده است.

مطالعه دانلود کل فرمولهای پایه انتگرال گیری و مشتق گیری هم پیشنهاد می شود.
9- فرمول انتگرال توابع قدرمطلق: در بسیاری از موارد ممکن است تابع زیر انتگرال قدرمطلق داشته باشد. در این حالت می توانید از فرمول های زیر استفاده کنید و یا اگر انتگرال معین است، بازه انتگرال گیری را به بخش هایی تقسیم بندی کنید که علامت عبارت زیر انتگرال در آن بخش ها مشخص است. پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال در ادامه با این روش دوم و با حذف قدرمطلق می توانید انتگرال را به صورت معمولی محاسبه نمائید. یعنی اگر در یک زیر بازه عبارت زیر انتگرال مثبت است با خیال راحت قدرمطلق را بردارید و انتگرال را محاسبه کنید و اگر در زیر بازه دیگری منفی است، در آن زیر بازه هم قدر مطلق را بردارید و عبارت زیر انتگرال را در یک منفی ضرب کنید و بعد انتگرال را به صورت معمولی محاسبه کنید. به هر حال، فرمول های زیر برای محاسبه انتگرال قدرمطلق مفید است.

10- فرمول انتگرال های معین: در حقیقت برای انتگرال های معین فرمول خاص و جداگانه ای وجود ندارد. از همین روابطی که اینجا ذکر شده است برای انتگرال های معین هم می توان استفاده کرد و در مرحله آخر وقتی که جواب بدست آمد باید حد بالا را در جواب جاگذاری نمود و حد پایین را هم جاگذاری کرد و در نهایت جواب حد پایین باید از حد بالا کم شود.
پیشنهاد می شود مطالب تكنيك هاي انتگرال گيري و دانلود جزوه آموزشی انتگرال را هم مشاهده نمائید. چگونه انتگرال حل کنیم

11- نحوه به خاطر سپردن فرمول های انتگرال گیری: روابطی که در این بخش برای یادگیری انتگرال ارائه شده است مهمترین روابط می باشد. البته واضح است که با وجود زیاد بودن تعداد این روابط باز هم فرمول های دیگری وجود دارد که اینجا ذکر نشده است (البته در بالا جزوه هایی معرفی شده که پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال پکیج آموزش انتگرال فرمولهای کامل را دارند). اما ممکن است این سوال برای شما پیش بیاید که این روابط که تعداد آنها خیلی زیاد است را چگونه به خاطر بسپاریم. نکته اول اینکه انتگرال گیری عکس مشتق گیری است. اگر شما در مبحث مشتق گیری روابط را قبلا حفظ کرده اید همان روابط را به صورت برعکس برای انتگرال می توانید مورد استفاده قرار دهید. مثلا اگر مشتق sinx برابر cosx است، انتگرال cosx هم همان sinx خواهد شد. بنابراین شما اگر فرمول های مشتق گیری را حفظ هستید همین الان بسیاری از فرمول ها انتگرال گیری را هم بلد هستید. اما ممکن است بعضی از روابط برای شما تازگی داشته باشد که باید با تمرین و تکرار و حل تمرین و مسئله آنها را برای خودتان ساده تر کنید. وقتی تمرین حل می کنید و روی این مبحث تمرکز دارید فرمول های پرکاربرد به صورت مداوم برای شما تکرار می شود و بعد از مدتی خواهید دید که آنها را بدون اینکه عمدا تلاشی کرده باشید حفظ هستید.