آموزش کاربرد مشتق – سری ۲

مشتق (Derivative) ایده‌ی اصلی حساب دیفرانسیل، بخش اول آنالیز ریاضی است که نرخ تغییرات تابع را نشان می‌دهد. مشتق نیز، نظیر انتگرال، از مسئله‌ای در هندسه، یعنی یافتن خط مماس در یک نقطه از منحنی ناشی شده‌است.

تاریخچه‌ی مشتق

مفهوم مشتق تا اوائل قرن ۱۷ میلادی، یعنی تا قبل از آن‌ که ریاضیدان فرانسوی، پییر دو فرما (Pierre de Fermat ) به تعیین اکسترمم‌ های چند تابع خاص دست بزند، تنظیم نشده بود. فرما دریافت که خطوط مماس، در نقاطی که منحنی ماکزیمم یا مینیمم دارد، باید از این‌ رو به نظرش رسید که مسئله‌ تعیین نقاط اکسترمم تابع، به حل مسئله‌ ی دیگر، یعنی یافتن مماس‌ های افقی مربوط می‌شود، تلاش برای حل این مسئله‌ ی کلی‌ تر بود که فرما را به کشف برخی از ایده‌ های مقدماتی مفهوم مشتق هدایت کرد.

در نگاه نخست اینطور به نظر می‌رسید که بین مسئله‌ی آموزش جامع کاربرد مشتق ر آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق ر آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق ر آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق مساحت سطح زیر یک نمودار و موضوع تعیین خط مماس بر منحنی در یک نقطه رابطه‌ای وجود ندارد، اما اولین کسی که دریافت این دو مفهومِ به ظاهر دور از هم، در واقع ارتباط نسبتاً نزدیکی با هم دارند آیزاک بارو معلم آیزاک، نیوتون، بوده‌ است.

اما مفهوم مشتق به شکل امروزی آن، نخستین بار در سال ۱۶۶۶ میلادی توسط نیوتون و به فاصله‌ی چند سال بعد از او، توسط گوتفرید لایبنیتز، مستقل از یکدیگر پدید آمد. این دو دانشمند در ادامه‌ی کار خود، باز هم به‌ طور مستقل، بخش دوم آنالیز ریاضی یعنی حساب انتگرال را عرضه کردند که اساس آن بر عمل انتگرال‌گیری قرار دارد.

نیوتون از شیوه‌ی استدلال سینماتیک و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای بدست آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کرد. اما لایبنیتز با دیدگاهی هندسی، از مشتق برای بدست آوردن ضریب زاویه‌ی مماس در منحنی‌ها استفاده می‌کرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانه‌ای را برای نشان دادن مشتق به کار می‌بردند.

پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوران بعد به آگوستَن لویی کوشی، برنهارد ریمان و برادران برنولی، یعنی یاکوب و یوهان، مربوط می‌شود. گیوم لوپیتال (Guillaume de l’Hôpital)، دانشمند فرانسوی، در سال ۱۶۹۶ نخستین کتاب درسی مربوط به آنالیز ریاضی را با نام «آنالیز بی‌نهایت کوچک‌ها برای بررسی منحنی‌ها» منتشر کرد که در واقع خلاصه‌ای کاربرد مشتق ر ر کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  رکاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  رکاربرد مشتق  درس‌هایی بود که یوهان برنولی به عنوان معلم برای او نوشته بود.

در این کتاب، قاعده‌ی رفع ابهام در حد، با استفاده از مشتق نیز آمده که به قاعده‌ی هوپیتال مشهور است ولی در واقع متعلق به یوهان برنولی بوده‌است

مفهوم مشتق در شکل خط مماس تاریخ بسیار کهنی دارد و برای هندسه‌دانان یونانی از جمله اقلیدس، ارشمیدس و آپولونیوس شناخته‌شده بوده‌است. ارشمیدس مفهوم بی‌نهایت کوچک را معرفی کرد، هرچند که این مفهوم برای مطالعه‌ی سطح‌ها و حجم‌ها به کار می‌رفت و توجهی به مشتق‌ها و مماس‌ها نمی‌شد.

می‌توان بهره‌گیری از بی‌نهایت کوچک‌ها برای مطالعه‌ی نرخ تغییرات را در ریاضیات هند از حدود سال ۵۰۰ میلادی مشاهده کرد. آریابهاتا که اخترشناس و ریاضی‌دان بود، از این مفهوم برای مطالعه‌ی  حرکت ماه استفاده کرد. باسکارای دوم توسعه‌ی قابل توجهی در استفاده از بی‌نهایت کوچک‌ها برای محاسبه‌ی نرخ تغییرات ایجاد کرد. می‌توان گفت که بسیاری از تعریف‌های کلیدی در حساب دیفرانسیل از جمله قضیه‌ی رل، در کارهای او دیده می‌شود.

شرف‌الدین طوسی، ریاضی‌دان ایرانی، نخستین کاربرد مشتق کسی بود که مشتق چندجمله‌ای‌های درجه سه را کشف کرد. کتاب فی المعادلات او، مفاهیمی از جمله تابع مشتق و بیشینه و کمینه‌ی منحنی را برای حل معادلات درجه سه که ممکن است جواب مثبت نداشته باشند، توسعه داد.

توسعه‌ی نوین حسابان مدیون آیزاک نیوتن و گوتفرید لایبنیتز است که رویکردهای مستقل و یکسانی را برای مشتق‌گیری و مشتقات فراهم کردند. نکته‌ی اصلی که این اعتبار را به آن‌ها داد، قضیه‌ی اساسی حسابان بود که مشتق و انتگرال را به یکدیگر مرتبط می‌کرد. این قضیه، بسیاری از روش‌های پیشین برای محاسبه‌ی سطح‌ها و حجم‌ها را که از دوران ابن هیثم توسعه‌ی چندانی نیافته بودند، منسوخ کرد.

نیوتن و لایبنیتز تحقیقات خود درباره‌ی مشتق را بر کارهای مهم انجام آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق آموزش جامع کاربرد مشتق شده توسط ریاضی‌دانان پیشین از جمله پیر دو فرما، آیزاک بارو، رنه دکارت، کریستیان هویگنس، بلز پاسکال و جان والیس بنا کردند. نیوتن نخستین کسی بود که از مشتق در فیزیک نظری بهره گرفت. لایبنیتز بسیاری از نمادها را توسعه داد که اکنون نیز به کار می‌روند.

از سده‌ی هفدهم میلادی بسیاری از ریاضی‌دانان در زمینه‌ی مشتق پژوهش کرده‌اند. در سده‌ی نوزدهم، ریاضی‌دانان دیگری از جمله آگوستین لویی کوشی، برنهارت ریمان و کارل وایرشتراس تحقیق در این زمینه را تکمیل کردند. در همین دوره، مشتق به فضای اقلیدسی و صفحه‌ی مختلط تعمیم داده شد.

مشتق تابع

اگر (x,f(x)) نقطه‌ای از نمودار تابع y=f(x) و (x+h,f(x+h)) نقطه‌ی دیگری از این نمودار باشد، آنگاه Δf(x)=f(x+h)–f(x) و شیب خط قاطع عبارت است از:

m=Δf(x)Δx=f(x+h)–f(x)hکسر فوق خارج قسمت تفاضلی f در x نامیده می شود. اگر x ثابت نگه داشته شود و h به سمت صفرمیل کند، آنگاه خار ج قسمت تفاضلی f در x اگر فقط به x بستگی داشته باشد به مقداری میل می کند که به آن شیب خط مماس گفته می شود. به عبارت دیگر، حاصل حد زیر در صورت وجود ضریب زاویه ی خط مماس نمودارتابع f درx را نتیجه می دهد:

f′(x)=limh→۰f(x+h)–f(x)h

تعریف مشتق تابع

برای تابع f که در همسایگی نقطه ی a تعریف شده است، اگرf′(x)=limh→۰f(x+h)–f(x)h وجود داشته باشد f در a مشتق پذیر است. این حد یکتا را با f′(a) نمایش داده و آن را مشتق تابع f در نقطه ی a می نامند.

بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر کاربرد مشتق کاربرد مشتق کاربرد مشتق کاربرد مشتق کاربرد مشتق سمت صفر میل می‌کند.

با تبدیل h به x–a تعریف دوم مشتق به صورت زیر خواهد بود:

f′(a)=limx→af(x)–f(a)x–a

نمادهای مشتق

لایبنیتز، نیوتون، لاگرانژ، آربوگاست و اویلر هر یک نماد جداگانه‌ای را برای نمایش مشتق بکار می‌بردند؛ اما در میان پیشگامان اولیهٔ آنالیز ریاضی، لایبنیتز بیش از هر کس دیگری به اهمیت علامات مناسب پی برده بود. او علامات را با حوصله ی زیادی آزمایش می‌کرد و با سایر ریاضی‌دانان مکاتبات بسیاری داشت و از این طریق معایب و محاسن نمادهای مختلف را برای آن‌ها مطرح می‌ساخت.

پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال و گسترش ریاضیات نوین تا کاربرد مشتق زکاربرد مشتق یکاربرد مشتق کاربرد مشتق اکاربرد مشتق کاربرد مشتق دی بواسطه ی علامت‌های پیشرفته‌ای است که بسیاری از آن‌ها توسط لایبنیتس ابداع شده‌اند.

لایبنیتز در سال ۱۶۷۵ میلادی با استفاده از عملگر تفاضلی Δ خارج قسمت تفاضلی f(x)–f(x0)x–x0 را به شکل ΔyΔx نوشت و برای مشتق تابع f در x نماد dydx را کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  ر کاربرد مشتق ر کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  ر رکاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق  کاربرد مشتق کرد که به صورت ddxf(x) نیز نوشته می شود. این نماد که نمایش دیفرانسیلی مشتق نامیده می شود، برای نمایش مشتق مراتب بالاتر به شکل dndxnf(x) نوشته می شود. با استفاده از این نماد تعریف مشتق به صورت dydx=limΔx→۰ΔyΔx در می آید.

نیوتون برای نشان دادن مشتق اول ازy˙ و برای مشتق دوم ازy¨ استفاده می‌کرد. نمادهای نقطه‌دار نیوتون در برخی مسائل فیزیکی مانند سرعت و شتاب بکار می‌روند.

مشتق تابع f را با f′ نیز می توان نشان داد. ای نماد برآن تاکید دارد آموزش کاربرد مشتق  که f′ تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از تابع f بدست آمده‌است و مقدارش در x با f′(x) نموده می‌شود. مختصات x و y واقع بر نمودار f با معادله ی y=f(x) به هم مربوط می‌شوند، و علامت y′ نیز برای نمایش f′(x)  بکار می‌رود که مقدارش در x به صورت y′x نوشته می‌شود.

این نماد در سال ۱۷۷۰ میلادی توسط ژوزف لویی لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفت و مشتق مراتب بالاتر کاربرد مشتق به صورت f′ (مشتق اول)،